Câu 1: Biết \(\int_{1}^{2}f(x) dx=4;\int_{2}^{6}f(x) dx=12,tính \int_{1}^{6}f(x) dx=?\)
Câu 2:Biết
\(\int_{3}^{9}f(x) dx=12.Tính \int_{1}^{3}f(x) dx\)
Nếu \(\int_{a}^{b}f(x) dx=m; \int_{b}^{a}f(x) dx=n thì \int_{a}^{c}f(x) dx=?\)
Chắc bạn ghi nhầm đề? Tích phân cuối ko liên quan gì hết trơn đến 2 tích phân trước, bạn xem kĩ lại cận của 3 tích phân
\(\int_{0}^{π/2}f(2x-1)cosx dx\)
Biết \(\int_{-1}^3f\left(x\right)dx=15\) . Tính giá trị của P = \(\int_0^2\left[f\left(3-2x\right)+2019\right]dx\)
Đặt \(3-2x=t\Rightarrow dx=-\frac{1}{2}dt\) ; \(\left\{{}\begin{matrix}x=0\Rightarrow t=3\\x=2\Rightarrow t=-1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow P=\int\limits^{-1}_3\left[f\left(t\right)+2019\right].\left(-\frac{1}{2}\right)dt=\frac{1}{2}\int\limits^3_{-1}f\left(t\right)dt+\int\limits^3_{-1}\frac{2019}{2}dt\)
\(=\frac{15}{2}+\frac{2019}{2}.4=\frac{8091}{2}\)
Tính tích phân của
\( a) \int_{1}^{e} \frac{cos(lnx)}{cos^2x}dx \)
\(b)\int_{0}^{\pi^2} xsin\sqrt{x}dx \)
\(c) \int_{0}^{\frac{1}{9}} \frac{x}{sin^2 (2x+1)} dx\)
Câu a: Tích phân không thể tính được
Câu b:
Đặt \(\sqrt{x}=t\). Khi đó:
\(\int ^{\pi ^2}_{0}x\sin \sqrt{x}dx=\int ^{\pi}_{0}t^2\sin td(t^2)\) \(=2\int ^{\pi}_{0}t^3\sin tdt\)
Tính \(\int t^3\sin tdt\) bằng nguyên hàm từng phần:
\(\Rightarrow \int t^3\sin tdt=\int t^3d(-\cos t)=-t^3\cos t+\int \cos t d(t^3)\)
\(=-t^3\cos t+3\int t^2\cos tdt\)
\(=-t^3\cos t+3\int t^2d(\sin t)=-t^3\cos t+3(t^2\sin t-\int \sin td(t^2))\)
\(=-t^3\cos t+3(t^2\sin t-2\int t\sin tdt)\)
\(=-t^3\cos t+3(t^2\sin t-2\int td(-cos t))\)
\(=-t^3\cos t+3[t^2\sin t-2(-t\cos t+\int \cos tdt)]\)
\(=-t^3\cos t+3t^2\sin t+6t\cos t-6\sin t+c\)
\(\Rightarrow 2\int ^{\pi}_{0}t^3\sin tdt=2(-t^3\cos t+3t^2\sin t+6t\cos t-6\sin t+c)\left|\begin{matrix} \pi\\ 0\end{matrix}\right.\)
\(=2\pi ^3-12\pi \)
Lời giải:
Đặt \(2x+1=t\Rightarrow x=\frac{t-1}{2}\)
Khi đó:
\(\int ^{\frac{1}{9}}_{0}\frac{x}{\sin ^2(2x+1)}dx=\frac{1}{2}\int ^{\frac{11}{9}}_{0}\frac{t-1}{\sin ^2t}d(\frac{t-1}{2})=\frac{1}{4}\int ^{\frac{11}{9}}_{1}\frac{t-1}{\sin ^2t}dt\)
Xét \(\int \frac{t-1}{\sin ^2t}dt=\int \frac{t}{\sin ^2t}dt-\int \frac{dt}{\sin ^2t}=\int td(-\cot t)-(-\cot t)+c\)
\(=(-t\cot t+\int \cot tdt)+\cot t+c\)
\(=-t\cot t+\int \frac{\cos t}{\sin t}dt+\cot t+c\)
\(=-t\cot t+\int \frac{d(\sin t)}{\sin t}+\cot t+c\)
\(=-t\cot t+\ln |\sin t|+\cot t+c\)
\(\Rightarrow \frac{1}{4}\int ^{\frac{11}{9}}_{1}\frac{t-1}{\sin ^2t}dt=\frac{1}{4}(-t\cot t+\ln |\sin t|+\cot t+c)\left|\begin{matrix} \frac{11}{9}\\ 1\end{matrix}\right.\)
\(\approx 0,007\)
\(\int_{-1}^0\) \(\dfrac{x^2-4x+4}{x^2-1}dx\)
Đề bài sai, ở cấp 3 chưa thể giải được dạng tích phân này (cận dưới làm cho hàm không xác định)
Tính tích phân sau: \(\int_{-1}^1ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)dx\)
Lời giải:
\(I=\int ^{1}_{-1}\ln (x+\sqrt{1+x^2})dx\)
Chuyển $x\to -x$ thì:
\(I=\int ^{-1}_{1}\ln (-x+\sqrt{1+x^2})d(-x)\)
\(=-\int ^{-1}_{1}\ln (-x+\sqrt{1+x^2})dx=\int ^{1}_{-1}\ln (-x+\sqrt{1+x^2})dx\)
\(2I=\int ^{1}_{-1}[\ln (x+\sqrt{1+x^2})+\ln (-x+\sqrt{1+x^2})]dx\)
\(=\int^{1}_{-1}\ln [(x^2+1)-x^2]dx=\int^{1}_{-1}\ln 1dx=\int^{1}_{-1}0dx=0\)
$\Rightarrow I=0$
Tìm a biết int_{-a}^{a} (3x^2+1)/(3^x+1) dx = 130
\(\int_{-1}^0\)\(\dfrac{4x+4}{\left(x^2-4x+3\right)^2}dx\)
\(\int_{-1}^0\)\(\dfrac{3x^2+3x+3}{x^3-3x+2}dx\)